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Significations et usages de disuguaglianza

Définition

⇨ voir la définition de Wikipedia

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Synonymes

Voir aussi

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Locutions

Dictionnaire analogique


disuguaglianza (s. f.)




Wikipedia

Disuguaglianza

                   
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In matematica una disuguaglianza (o diseguaglianza) è una relazione d'ordine totale sull'insieme dei numeri reali o su un suo sottoinsieme.

Può essere intesa in senso largo o in senso stretto, a seconda che la relazione d'ordine sia riflessiva o meno. Nei due casi vengono utilizzate le coppie di simboli \geqslant e \leqslant, oppure >\,\! e <\,\!.

Gli stessi simboli possono essere utilizzati per "confrontare" due funzioni a valori reali.

Indice

  Notazione

La disuguaglianza in senso largo si indica con le scritture equivalenti a\geqslant b e b\leqslant a, che si leggono "a è maggiore o uguale a b" e "b è minore o uguale ad a".

La disuguaglianza in senso stretto si indica invece le scritture equivalenti a>b\,\! e b<a\,\!, lette "a è maggiore di b" e "b è minore di a".

Questa notazione può essere confusa con la notazione graficamente simile ab (o ba), utilizzata con due diversi significati: sia per indicare che un numero è sufficientemente più grande di un altro ("a è molto maggiore di b"), sia per indicare che una funzione è asintoticamente più grande di un'altra ("a domina b"). In entrambi i casi non è una disuguaglianza, ma solamente una relazione d'ordine parziale, ovvero può non permettere di confrontare tra loro due distinti elementi dell'insieme.

  Proprietà

  Ordine totale

Come per ogni insieme totalmente ordinato, ogni coppia di elementi distinti è confrontabile, ovvero

  • per ogni due numeri reali a e b, distinti tra loro, vale una e una sola tra le due relazioni a < b e a > b.

Se la disuguaglianza è intesa in senso stretto, allora per ogni due numeri reali a e b vale una e una sola delle tre relazioni a>b, a<b, a=b.
Se la disuguaglianza è invece intesa in senso largo, allora per ogni due numeri reali a e b vale almeno una delle due relazioni a\geqslant b e a\leqslant b; se valgono entrambe, allora a=b.

Per i numeri complessi (con parte immaginaria non nulla) non è invece possibile definire un ordinamento, quindi una disuguaglianza.

  Somma e sottrazione

Le disuguaglianze vengono preservate se ad entrambi i termini viene aggiunto (o sottratto) uno stesso numero:

  • per ogni tre numeri reali a, b e c sono equivalenti: a > b, a + c > b + c, ac > bc.

(Lo stesso vale con la disuguaglianza in senso largo.)

Questa proprietà indica che confrontare due numeri a e b è equivalente a verificare se la loro differenza a-b è positiva o negativa, ovvero a confrontare a-b e 0. Inoltre a>0 equivale a -a<0, così come a>b equivale a -a<-b.

Questa proprietà in generale descrive i gruppi ordinati.

  Moltiplicazione e divisione

Le disuguaglianze vengono preservate se entrambi i termini vengono moltiplicati (o divisi) per uno stesso numero strettamente positivo. Moltiplicando (o dividendo) per un numero strettamente negativo, invece, le disuguaglianze si scambiano:

  • per ogni tre numeri reali a', b, c
  • per ogni terna di numeri reali a, b e c,
    • se c>0 allora sono equivalenti: a>b, ac>bc, a/c>b/c;
    • se c<0 allora sono equivalenti: a>b, ac<bc, a/c<b/c.

(Lo stesso vale con la disuguaglianza in senso largo.)

Per la precedente proprietà, la seconda riga equivale alla prima, scrivendo -c al posto di c.

Queste proprietà in generale descrivono gli anelli ordinati e i campi ordinati (o campi reali).

  Funzioni monotone

Le disuguaglianze sono alla base della definizione delle funzioni monotòne: le funzioni che conservano (o invertono) l'ordinamento dei numeri reali, quindi le disuguaglianze, sono funzioni monotone crescenti (o decrescenti).
In particolare, le funzioni monotone in senso stretto "mantengono" le disuguaglianze in senso stretto; una funzione monotona in senso largo, invece, fornisce solamente disuguaglianze in senso largo.

  Disequazione

A volte si abusa della notazione per la disuguaglianza, scrivendo f>0 anche quando f è una funzione a valori reali. Con questa notazione si intende che f assume solo valori strettamente positivi, ovvero che f(x)>0 per ogni x nel dominio di f. Nello stesso modo, f>g indica che f-g>0, ovvero che f(x)>g(x) per ogni x nel (comune) dominio di f e g. Lo stesso capita con la disuguaglianza in senso largo.

Quando il dominio delle funzioni non viene specificato, si parla di disequazione.

  Disuguaglianze comuni

Alcune "famose" disuguaglianze in matematica sono elencate di seguito.

  Voci correlate

  Altri progetti

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica
   
               

 

Toutes les traductions de disuguaglianza


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