Définitions et usages de : radicación - Dictionnaire de espagnol sensagent

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Radicación

En el gráfico se han representado las curvas de algunas raíces, así como de sus funciones inversas, en el intervalo [0,1]. La diagonal, de ecuación y = x, es eje de simetría entre cada curva y la curva de su inversa.

En matemática, la radicación de orden n de un número a es cualquier número b tal que $\scriptstyle b^n = a$ , donde n se llama índice u orden, a se denomina radicando, y b es una raíz enésima, por lo que se suele conocer también con ese nombre. La notación a seguir tiene varias formas:

$y = \sqrt[n]{x} = x^{1/n}$ .

Para todo n natural, a y b reales positivos, se tiene la equivalencia:

$a = b^n \iff b = \sqrt[n]{a}$ .

Dentro de los números reales $\scriptstyle \R^+$ positivos, siempre puede encontrarse una única raíz enésima también positiva. Si el número a es negativo entonces sólo existirá una raíz real cuando el índice n sea impar. La raíz enésima de un número negativo no es un número real (no está definida dentro de los números reales) cuando el índice n es par.

Dentro de los números complejos $\scriptstyle \mathbb{C}$ , para cada número z siempre es posible encontrar exactamente n raíces enésimas diferentes.

La raíz de orden dos se llama raíz cuadrada y, por ser la más frecuente, se escribe sin superíndice: $\sqrt{x}$ en vez de $\sqrt[2]{x}$ .La raíz de orden tres se llama raíz cúbica.

El cálculo efectivo de la raíz se hace mediante las funciones logaritmo y exponencial:

$\sqrt[n]{x} = \exp\left(\frac{\ln {x}}{n}\right) = {e^{\frac {\ln x} n}}$ .

Todos los ordenadores y calculadoras emplean este método. El problema es que éste cálculo no funciona con los números negativos, porque el logaritmo usual sólo está definido en (0,+ ∞). De ahí una tendencia, todavía minoritaria, de restringir la definición de las raíces de orden impar $\sqrt[3]{x}, \sqrt[5]{x} ...$ a los números positivos.

Propiedades

Como se indica con la igualdad $y = \sqrt[n]{x^m} = x^{m/n},$ la radicación es en realidad otra forma de expresar una potenciación: la raíz de un cierto orden de un número es equivalente a elevar dicho número a la potencia inversa. Por esto, las propiedades de la potenciación se cumplen también con la radicación.

Ejemplo: si 3 y 4

$\sqrt[4]{x^3}$ = $\ x^{3/4}.$

Raíz de un producto

La raíz de un producto es igual al producto de las raíces de los factores.

$\sqrt[n]{{a} \cdot {b}} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$

con n distinto de cero (0).

Ejemplo

$\sqrt{3^2 \cdot 2^4}$ = $\sqrt{3^2} \cdot \sqrt{2^4}$ = $\sqrt{9} \cdot \sqrt{16} = 3\cdot 4 = 12.$

Se llega a igual resultado de la siguiente manera:

$\sqrt{3^2 \cdot 2^4} = \sqrt{9 \cdot 16} = \sqrt{144} = 12.$

Raíz de un cociente

La raíz de una fracción es igual al cociente de la raíz del numerador entre la raíz del denominador.

$\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{a^{1/n}}{b^{1/n}}$ = $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$

con n distinto de cero (0).

Ejemplo

$\sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}$ = $\frac{3}{2}.$

Cuando esta propiedad se aplica a números, no hace falta pasar la raíz a potencia de exponente racional, aunque sí cuando se hace con variables.

Ejemplos

$\sqrt[3]{\frac{x^3}{y^9}} = \frac{x^{3/3}}{y^{9/3}}$ = $\frac{x}{y^3}.$
$(\sqrt[4]{a^2})^8 = (\ a^{2/4})^8$ = $\sqrt[4]{a^{16}}.$

Raíz de una raíz

Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva el radicando.

$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}$ = $\sqrt[n \cdot m]{a}.$

con n y m distintos de cero (0).

Ejemplo

$\sqrt[9]{\sqrt[3]{5}}$ = $\sqrt[27]{5}.$

Números complejos

Si z es un número complejo, entonces admite una representación mediante módulo y argumento (forma polar) de la forma:

$z = a+bi = \rho e_{}^{i\theta}$ , donde $\; \rho = \sqrt{a^2+b^2}, \quad \theta = \arg(a+bi).$

De esta manera, en forma polar, las raíces n-ésimas de z, necesarias para la ecuación $x_{}^n=z$ , pueden ser calculadas por medio de la fórmula

$\sqrt[n]z=\sqrt[n]{\rho e^{i\theta}} \,=\, \sqrt[n]{\rho}\,e^{i {\theta + 2 \pi k\over n} },\ k \in \{0,1,\cdots,n-1\}.$

Por tanto, un número complejo tiene n raíces enésimas distintas. En el plano complejo están dispuestas en los vértices de un polígono regular de n lados con centro en el origen del plano complejo. La distancia del centro de dicho polígono a sus vértices es $\sqrt[n]{\rho}$ .

Ejemplo

$\sqrt[3]1=\sqrt[3]{1\, e^{i0}} = \left \{ \begin{array}{ccc} \sqrt[3]{1}\,e^{i {0 + 2 \pi\cdot 0\over 3}} & = & 1+ 0i \\ \sqrt[3]{1}\,e^{i {0 + 2 \pi \cdot 1\over 3}} & = & -{1 \over 2}+ {\sqrt{3} \over 2}i\\ \sqrt[3]{1}\,e^{i {0 + 2 \pi \cdot 2\over 3}} & = & -{1 \over 2}- {\sqrt{3} \over 2}i \end{array} \right .$

Véase también

Referencias

El contenido de este artículo incorpora material de una entrada de la Enciclopedia Libre Universal, publicada en español bajo la licencia Creative Commons Compartir-Igual 3.0.

Bibliografía

Suárez Bracho, Estrella y Durán Cepeda, Darío (2003) Matemáticas Noveno año. Caracas: Editorial Santillana.

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