Het wiskundige begrip reeks tracht de optelling van getallen te veralgemenen tot oneindige rijen getallen.

Een reeks is altijd afgeleid van een rij; als we bijvoorbeeld kijken naar de rij a₁,a₂,a₃,a₄,... dan is daaruit af te leiden de reeks s die gevormd wordt door de 'sommatie' van de termen van de rij; dit wordt meestal genoteerd als .

Formeel is een reeks een oneindige rij getallenkoppels (a₁,s₁),(a₂,s₂),(a₃,s₃),... met de eigenschap dat s_i = s_{i - 1} + a_i voor elke i > 0. Men noemt a₁,a₂,... de termen van de reeks, en s₁,s₂,... de partieelsommen. Deze partieelsommen worden gegeven door .

Een reeks heet convergent als de rij der partieelsommen convergeert naar een eindige limiet s. In dat geval noemt men s de som van de reeks. Men noteert dan de reeks een beetje intuïtiever:

a₁ + a₂ + a₃ + ... = s

Als de deelsommen convergeren, dan moeten de termen convergeren naar 0. Het omgekeerde geldt echter niet: Een reeks waarvan de termen convergeren naar 0 kan nog steeds divergent zijn, zie bijvoorbeeld de harmonische reeks hieronder.

Inhoud 1 Absolute convergentie 2 Geometrische reeks 3 Harmonische reeks 4 Alternerende reeks 5 Andere typen reeksen 6 Voorbeeld

Absolute convergentie

Een reeks heet absoluut convergent als de absolute waarden van de termen a_i op hun beurt de termenrij van een andere convergente reeks vormen.

Elke absoluut convergente reeks is convergent. Bij een absoluut convergente reeks kan men de volgorde van de termen willekeurig omgooien zonder de reekssom te beïnvloeden. Bij een convergente reeks die niet absoluut convergent is, geldt dit helemaal niet; men kan dan door een slimme herschikking van de termen zelfs eender welke limiet bereiken.

Een schets van een bewijs hiervoor: Zij een convergente reeks, waarbij divergent is. Dit kan alleen als deze tweede som oneindig wordt. Verdeel nu a_n in twee deelrijen, een met de positieve en de andere met de negatieve waarden. Minstens een van beide heeft een oneindige som; om toch eindig uit te kunnen komen, moet dat ook voor de andere gelden. Maak nu (voor zekere waarde t) een nieuwe reeks op de volgende wijze: Als de som van de eerste n elementen groter is dan t, nemen we het eerste nog niet gebruikte element van de negatieve deelrij, anders het eerste nog niet gebruikte element uit de positieve deelrij. De zo gevormde reeks zal een verandering van de volgorde van de termen in de oorspronkelijke reeks zijn, en convergeren naar t.

Geometrische reeks

De som der machten van een getal a met absolute waarde kleiner dan 1 is absoluut convergent:

1 + a + a² + a³ + ... = 1 / (1 - a)

Deze reeks heet geometrische of meetkundige reeks. Deze reeks heeft een exponentieel verloop, zoals ook kan worden gezien aan de hand van de exponentiële Taylor-reeks (zie verder).

Harmonische reeks

De harmonische rij is in de wiskunde de rij , dus met algemene term:

De bijbehorende harmonische reeks is divergent. Dit valt op de volgende wijze in te zien:

Verdeel (vanaf n = 2) de termen in groepen van steeds dubbele grootte, dat wil zeggen: . Er zijn oneindig veel van deze groepen, en van elke groep is de som groter dan of gelijk aan , bijvoorbeeld . Dus is de totale som, die de som is van al deze groepen, groter dan elk willekeurig getal, en dus oneindig.

Alternerende reeks

Bij een alternerende reeks wisselen de termen elke keer van teken.

De volgende reeks is convergent, maar niet absoluut convergent:

Deze reeks heet alternerende harmonische reeks.

Andere typen reeksen

Andere typen reeksen zijn onder andere:

• Taylorreeks
• Machtreeks
• Binomiaalreeks

Voorbeeld

Voorbeeld van reeksen die een relatie hebben met het getal pi:

Vele van deze reekssommen kunnen aangetoond worden m.b.v. Fourierreeksen